Discussione:
Problema geometria solida
(troppo vecchio per rispondere)
f***@gmail.com
2020-04-20 15:59:25 UTC
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OT. Ciao, chiedo scusa se è inappropriato pubblicare qui questa domanda, ma per esperienza ho trovato più risposte qui che in ore di ricerca in rete...ovviamente i moderatori cancellino o spostino come ritengono più opportuno.
Vorrei risolvere un problema che mi si è insinuato nella testa che però non riesco a risolvere. Farlo in maniera empirica e (a grandi linee) abbastanza preciso non è troppo difficile, ma per quanto abbia frequentato il liceo scientifico (ormai 35 anni fa) non ne vengo a capo. Ecco il punto. Ho una caraffa in vetro, alta 167mm di cui posso misurare la base minore (68mm) e quella superiore (86mm). La domanda è questa. Supponiamo che verso 100ml di acqua, essa raggiungerà una certa altezza. Quale altezza raggiungerà l’aggiunta di altri 100ml di acqua? E altri 100? Insomma, esisterà una formula che mi permetta, dati gli elementi noti, di sapere a quanti mm otterrò il raddoppio del volume...
LAB
1970-01-01 00:00:00 UTC
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Pigreco r^2 è l'area del cerchio. Se la moltiplichi per h ottieni
il volume.
100ml sono 100 cm^3, quindi puoi fare i calcoli semplicemente in
centimetri.
--
Vieni a trovarci su Youtube: https://goo.gl/522kv4
LAB
1970-01-01 00:00:00 UTC
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Il problema è che il volume aumenta quadraticamente rispetto al
raggio (e quindi rispetto al diametro).
--
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Birbo Bicirossa
2020-04-20 16:18:10 UTC
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Post by LAB
Il problema è che il volume aumenta quadraticamente rispetto al
raggio (e quindi rispetto al diametro).
I miei ricordi scolastici risalgono alle guerre puniche, però se hai un
problema che riguarda un tronco di cono potresti chiederei a un gelataio.

:-)

Ok, ho detto una cazzata...
f***@gmail.com
2020-04-20 16:22:42 UTC
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Post by Birbo Bicirossa
Post by LAB
Il problema è che il volume aumenta quadraticamente rispetto al
raggio (e quindi rispetto al diametro).
I miei ricordi scolastici risalgono alle guerre puniche, però se hai un
problema che riguarda un tronco di cono potresti chiederei a un gelataio.
Meno male, pensa che credevo di dover cercare un ex boscaiolo convertito all'arte gelatiera ;-)
Post by Birbo Bicirossa
:-)
Ok, ho detto una cazzata...
io pure :-D
f***@gmail.com
2020-04-20 16:25:26 UTC
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Post by LAB
Pigreco r^2 è l'area del cerchio. Se la moltiplichi per h ottieni
il volume.
100ml sono 100 cm^3, quindi puoi fare i calcoli semplicemente in
centimetri.
Si parla di un tronco di cono, quindi R' ed R". Raddoppiare l'altezza non vale.
Post by LAB
--
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Bernardo Rossi
2020-04-20 16:14:15 UTC
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Post by f***@gmail.com
acqua? E altri 100? Insomma, esisterà una formula che mi permetta, dati gli elementi noti, di sapere a quanti mm otterrò il raddoppio del volume...
Il referente per i problemi matematici si chiama Socratis.
Ogni tanto passa di qui per renderci partecipi dei suoi calcoli, prova
a chiedere a lui.
--
Byebye from Verona, Italy

Bernardo Rossi
emilio
2020-04-20 16:42:20 UTC
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Post by Bernardo Rossi
Post by f***@gmail.com
acqua? E altri 100? Insomma, esisterà una formula che mi permetta, dati gli elementi noti, di sapere a quanti mm otterrò il raddoppio del volume...
Il referente per i problemi matematici si chiama Socratis.
Ogni tanto passa di qui per renderci partecipi dei suoi calcoli, prova
a chiedere a lui.
ma questo problema rientra nella T.n.p. ? perchè altrimenti non risponde
f***@gmail.com
2020-04-20 16:47:53 UTC
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Post by emilio
Post by Bernardo Rossi
Post by f***@gmail.com
acqua? E altri 100? Insomma, esisterà una formula che mi permetta, dati gli elementi noti, di sapere a quanti mm otterrò il raddoppio del volume...
Il referente per i problemi matematici si chiama Socratis.
Ogni tanto passa di qui per renderci partecipi dei suoi calcoli, prova
a chiedere a lui.
ma questo problema rientra nella T.n.p. ? perchè altrimenti non risponde
Che significa?!?!? oO
emilio
2020-04-20 16:50:54 UTC
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Post by f***@gmail.com
Post by emilio
Post by Bernardo Rossi
Post by f***@gmail.com
acqua? E altri 100? Insomma, esisterà una formula che mi permetta, dati gli elementi noti, di sapere a quanti mm otterrò il raddoppio del volume...
Il referente per i problemi matematici si chiama Socratis.
Ogni tanto passa di qui per renderci partecipi dei suoi calcoli, prova
a chiedere a lui.
ma questo problema rientra nella T.n.p. ? perchè altrimenti non risponde
Che significa?!?!? oO
che il demente del ng,nonché giullare e troll del ng, usa solo la
matematica T.n.p.
di sua invenzione
R2-D2
2020-04-20 16:36:04 UTC
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Post by f***@gmail.com
...Ho
una caraffa in vetro, alta 167mm di cui posso misurare la base minore (68mm)
e quella superiore (86mm). La domanda è questa. Supponiamo che verso 100ml di
acqua, essa raggiungerà una certa altezza. Quale altezza raggiungerà
l’aggiunta di altri 100ml di acqua? E altri 100? Insomma, esisterà una
formula che mi permetta, dati gli elementi noti, di sapere a quanti mm
otterrò il raddoppio del volume...
Fai la differanza tra i volumi dei diversi tronchi di cono.
https://www.math.it/formulario/solidi_rotazione.htm
f***@gmail.com
2020-04-20 16:43:35 UTC
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Post by R2-D2
Fai la differanza tra i volumi dei diversi tronchi di cono.
https://www.math.it/formulario/solidi_rotazione.htm
Purtroppo non ho capito.
Diciamo cosi: ho tre elementi certi di questo solido: base minore, base maggiore ed altezza.
Dentro la caraffa inserisco una quantità di acqua X, che raggiunge una certa altezza Y. Fino a quale altezza Z devo aggiungere l'acqua ottenere 2X?
LAB
1970-01-01 00:00:00 UTC
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Disegna la sezione della caraffa, che sarà un rettangolo con due
triangoli ai lati, e calcola la larghezza (che è il diametro) in
base al seno dell'angolo alla base.
--
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LAB
1970-01-01 00:00:00 UTC
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Più semplicemente, il diametro varia linearmente, quindi
diametro all'alt. h = d+(Dmax-d)*h/htot
--
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LAB
1970-01-01 00:00:00 UTC
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Secondo i miei calcoli, il volume di un liquido che raggiunge il
livello h è:

h * pigreco * (d/2 + (D-d)*h/(4*ht))^2

dove d è il diametro minore, D è il diametro maggiore e ht è
l'altezza totale.
--
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f***@gmail.com
2020-04-20 21:23:03 UTC
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Post by LAB
Secondo i miei calcoli, il volume di un liquido che raggiunge il
h * pigreco * (d/2 + (D-d)*h/(4*ht))^2
dove d è il diametro minore, D è il diametro maggiore e ht è
l'altezza totale.
d= diametro minore
D=diametro maggiore
H=altezza totale caraffa

πh[d/2 +(Dd)h/4H]²

in questa formula "h" è presente sia fuori che dentro le parentesi graffe, inoltre una equazione senza un "=" non offre risultati
LAB
1970-01-01 00:00:00 UTC
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Post by f***@gmail.com
in questa formula "h" è presente sia fuori che dentro le parentesi graffe
...e che male c'è?...
Post by f***@gmail.com
inoltre una equazione senza un "=" non offre risultati
Uh???...
--
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LAB
1970-01-01 00:00:00 UTC
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Quella formula, poi, dove l'hai trovata? Non è la mia, è diversa.
--
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f***@gmail.com
2020-04-20 22:14:16 UTC
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Mi pare che ho semplicemente sostituito Ht con H e ho messo le parentesi quadre al posto di quelle tonde. Per il resto mi sembra la tua formula. Quando poi parlo di mancanza del segno = intendo una formula che mi dica:
h=(X*Y)/Z etc etc. Ai valori X Y e Z sostituisco i valori noti ed ottengo il mio bel risultato, cioè il valore di h
LAB
1970-01-01 00:00:00 UTC
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Ho scritto:
*il volume* di un liquido che raggiunge il livello h è:

h * pigreco * (d/2 + (D-d)*h/(4*ht))^2 

La russa formula è diversa! Controlla bene... :)
--
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LAB
1970-01-01 00:00:00 UTC
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100ml sono 2,65cm
200ml sono 5,09cm
300ml sono 7,38cm
400ml sono 9,53cm
Capacità totale (16,7cm): 777ml
--
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emilio
2020-04-20 16:49:34 UTC
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Post by f***@gmail.com
OT. Ciao, chiedo scusa se è inappropriato pubblicare qui questa domanda, ma per esperienza ho trovato più risposte qui che in ore di ricerca in rete...ovviamente i moderatori cancellino o spostino come ritengono più opportuno.
Vorrei risolvere un problema che mi si è insinuato nella testa che però non riesco a risolvere. Farlo in maniera empirica e (a grandi linee) abbastanza preciso non è troppo difficile, ma per quanto abbia frequentato il liceo scientifico (ormai 35 anni fa) non ne vengo a capo. Ecco il punto. Ho una caraffa in vetro, alta 167mm di cui posso misurare la base minore (68mm) e quella superiore (86mm). La domanda è questa. Supponiamo che verso 100ml di acqua, essa raggiungerà una certa altezza. Quale altezza raggiungerà l’aggiunta di altri 100ml di acqua? E altri 100? Insomma, esisterà una formula che mi permetta, dati gli elementi noti, di sapere a quanti mm otterrò il raddoppio del volume...
secondo me ,partendo dalla formula del volume del tronco di cono
http://www.ripmat.it/mate/g/gk/gkdc.html
ed usando un foglio di calcolo (excel o simili) puoi ottenere quello che
chiedi
calcolando il volume V ,in funzione dell'altezza h
f***@gmail.com
2020-04-20 17:02:25 UTC
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Post by emilio
secondo me ,partendo dalla formula del volume del tronco di cono
http://www.ripmat.it/mate/g/gk/gkdc.html
ed usando un foglio di calcolo (excel o simili) puoi ottenere quello che
chiedi
calcolando il volume V ,in funzione dell'altezza h
Si certo, però non riesco ad estrapolare la mia incognita "Altezza"...
V=⅓πh(R²+Rr+r²)
V è nota
R ed r sono note. Ma utilizzando questi due dati ottengo il volume totale, che non è quello che cerco. Secondo me manca un elemento da aggiungere, ma lascio la parola a chi ha (ancora) più dimestichezza di me con la geometria solida...
Fabbrogiovanni
2020-04-20 17:19:57 UTC
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Post by f***@gmail.com
Post by emilio
secondo me ,partendo dalla formula del volume del tronco di cono
http://www.ripmat.it/mate/g/gk/gkdc.html
ed usando un foglio di calcolo (excel o simili) puoi ottenere quello che
chiedi
calcolando il volume V ,in funzione dell'altezza h
Si certo, però non riesco ad estrapolare la mia incognita "Altezza"...
V=⅓πh(R²+Rr+r²)
V è nota
R ed r sono note. Ma utilizzando questi due dati ottengo il volume totale,
che non è quello che cerco. Secondo me manca un elemento da aggiungere, ma
lascio la parola a chi ha (ancora) più dimestichezza di me con la geometria
solida...
Provo a ragionare (da fabbro, quindi a livello molto elementare:-)

Hai detto che conoscendo Raggio maggiore, raggio minore e h altezza si
trova il volume, facciamo che sia 1000 cc.

Ora a te serve calcolare a che h arriverà il liquido se ne versi solo
500 cc.

I dati disponibili sono:
500 cc
raggio minore.

Dobbiamo scoprire i due dati mancanti, Raggio maggiore e h Altezza.

Se troviamo questo potremo usare la stessa formula per trovare 1/4 o
tutti gli altri volumi.
--
Fabbrogiovanni

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f***@gmail.com
2020-04-20 18:26:54 UTC
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Post by Fabbrogiovanni
Provo a ragionare (da fabbro, quindi a livello molto elementare:-)
Quando mi sono messo a ragionare e ho cominciato a sentire rumore di ferraglia, prima di fare altri danni, mi sono fermato ed ho chiesto qui...
Post by Fabbrogiovanni
Hai detto che conoscendo Raggio maggiore, raggio minore e h altezza si
trova il volume, facciamo che sia 1000 cc.
Ora a te serve calcolare a che h arriverà il liquido se ne versi solo
500 cc.
il ragionamento fila...
Post by Fabbrogiovanni
500 cc
raggio minore.
Dobbiamo scoprire i due dati mancanti, Raggio maggiore e h Altezza.
Ed è qui che sbatto il cranio contro lo stipite della porta che introduce al mondo della geometria procurandomi un bel mal di testa: per risolvere l' equazione possiamo avere solo una incognita, con due non c'è trippa...
Post by Fabbrogiovanni
Se troviamo questo potremo usare la stessa formula per trovare 1/4 o
tutti gli altri volumi.
Mi sa che ci tocca ancora aspettare lumi. :-/
Post by Fabbrogiovanni
Fabbrogiovanni
comunque se
V=1/3π(R²+Rr+r²)h
allora
h=V/(R²+Rr+r²)1/3π

il problema è sia h che R (relativo ad h) sono incognite...
Fabbrogiovanni
2020-04-20 19:34:48 UTC
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Post by f***@gmail.com
Post by Fabbrogiovanni
Provo a ragionare (da fabbro, quindi a livello molto elementare:-)
Quando mi sono messo a ragionare e ho cominciato a sentire rumore di
ferraglia, prima di fare altri danni, mi sono fermato ed ho chiesto qui...
Il rumore di ferraglia è un buon segno, vuol dire che gli ingranaggi
girano:-)
Post by f***@gmail.com
Post by Fabbrogiovanni
Dobbiamo scoprire i due dati mancanti, Raggio maggiore e h Altezza.
Ed è qui che sbatto il cranio contro lo stipite della porta che introduce al
mondo della geometria procurandomi un bel mal di testa: per risolvere l'
equazione possiamo avere solo una incognita, con due non c'è trippa...
Fare i conti a mano richiederebbe una vita ma Bill Gates ci ha fornito
Excel.
Io non sono abbastanza bravo con questo programma ma credo che basta
conoscerlo un pochino e ci possiamo arrivare.

Provo ad esporre la mia teoria, gli esperti informatici sono pregati di
fermarsi qui e non proseguire a leggere:-)

Una delle due incognite (il R maggiore) la troviamo facilmente.
Conoscendo quella in basso e quella in alto dividiamo l'altezza in
parti quasi infinite, diciamo passo 1 mm (e abbiamo trovato la terza
incognita)

Così facendo avremo r minore, R maggiore e Altezza (1 mm).
E con Excel calcoliamo il volune di questo sottile tronco di cono.

Poi replichiamo la formula con h=2 mm, con h=3 mm, e via di seguito
fino ad arrivare in cima.

Prima abbiamo fatto finta che la caraffa piena contenga 1000 cc.
Ora che abbiamo 167 risultati basta chiedere ad Excel di evidenziarci
solo quelli che sono più simili a 100, 200, 300, ecc. ecc.

Basterà osservare la formula che ha dato questi circa 100, 200, 300,
ecc. ecc. e passiamo ad incidere le tacche sulla caraffa.
--
Fabbrogiovanni

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2020-04-20 21:07:12 UTC
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Post by Fabbrogiovanni
Post by f***@gmail.com
Post by Fabbrogiovanni
Provo a ragionare (da fabbro, quindi a livello molto elementare:-)
Quando mi sono messo a ragionare e ho cominciato a sentire rumore di
ferraglia, prima di fare altri danni, mi sono fermato ed ho chiesto qui...
Il rumore di ferraglia è un buon segno, vuol dire che gli ingranaggi
girano:-)
Magari è solo l'imbracatura di sicurezza del neurone...
Post by Fabbrogiovanni
Post by f***@gmail.com
Post by Fabbrogiovanni
Dobbiamo scoprire i due dati mancanti, Raggio maggiore e h Altezza.
Ed è qui che sbatto il cranio contro lo stipite della porta che introduce al
mondo della geometria procurandomi un bel mal di testa: per risolvere l'
equazione possiamo avere solo una incognita, con due non c'è trippa...
Fare i conti a mano richiederebbe una vita ma Bill Gates ci ha fornito
Excel.
Io non sono abbastanza bravo con questo programma ma credo che basta
conoscerlo un pochino e ci possiamo arrivare.
Provo ad esporre la mia teoria, gli esperti informatici sono pregati di
fermarsi qui e non proseguire a leggere:-)
Una delle due incognite (il R maggiore) la troviamo facilmente.
Conoscendo quella in basso e quella in alto dividiamo l'altezza in
parti quasi infinite, diciamo passo 1 mm (e abbiamo trovato la terza
incognita)
Perdonami ma non colgo la relazione che lega la variazione di h e di R
Post by Fabbrogiovanni
Così facendo avremo r minore, R maggiore e Altezza (1 mm).
E con Excel calcoliamo il volune di questo sottile tronco di cono.
Poi replichiamo la formula con h=2 mm, con h=3 mm, e via di seguito
fino ad arrivare in cima.
Prima abbiamo fatto finta che la caraffa piena contenga 1000 cc.
Ora che abbiamo 167 risultati basta chiedere ad Excel di evidenziarci
solo quelli che sono più simili a 100, 200, 300, ecc. ecc.
Basterà osservare la formula che ha dato questi circa 100, 200, 300,
ecc. ecc. e passiamo ad incidere le tacche sulla caraffa.
L'approssimazione al mm è tipica di come me e te lavora (a livello di ragionamento, eh!) con grandezze piccole e approssimazioni piccole, che nei tuoi lavori col ferro o i miei giochini col ferro funzionano bene, ma siamo lontani da una formula che leghi quei valori del tronco di cono e ci restituisca un altro valore.
Post by Fabbrogiovanni
Fabbrogiovanni
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2020-04-20 21:12:30 UTC
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Post by Fabbrogiovanni
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Post by Fabbrogiovanni
Provo a ragionare (da fabbro, quindi a livello molto elementare:-)
Quando mi sono messo a ragionare e ho cominciato a sentire rumore di
ferraglia, prima di fare altri danni, mi sono fermato ed ho chiesto qui...
Il rumore di ferraglia è un buon segno, vuol dire che gli ingranaggi
girano:-)
Magari è solo l'imbracatura di sicurezza del neurone...
Post by Fabbrogiovanni
Post by f***@gmail.com
Post by Fabbrogiovanni
Dobbiamo scoprire i due dati mancanti, Raggio maggiore e h Altezza.
Ed è qui che sbatto il cranio contro lo stipite della porta che introduce al
mondo della geometria procurandomi un bel mal di testa: per risolvere l'
equazione possiamo avere solo una incognita, con due non c'è trippa...
Fare i conti a mano richiederebbe una vita ma Bill Gates ci ha fornito
Excel.
Io non sono abbastanza bravo con questo programma ma credo che basta
conoscerlo un pochino e ci possiamo arrivare.
Provo ad esporre la mia teoria, gli esperti informatici sono pregati di
fermarsi qui e non proseguire a leggere:-)
Una delle due incognite (il R maggiore) la troviamo facilmente.
Conoscendo quella in basso e quella in alto dividiamo l'altezza in
parti quasi infinite, diciamo passo 1 mm (e abbiamo trovato la terza
incognita)
Perdonami ma non colgo la relazione che lega la variazione di h e di R
Post by Fabbrogiovanni
Così facendo avremo r minore, R maggiore e Altezza (1 mm).
E con Excel calcoliamo il volune di questo sottile tronco di cono.
Poi replichiamo la formula con h=2 mm, con h=3 mm, e via di seguito
fino ad arrivare in cima.
Prima abbiamo fatto finta che la caraffa piena contenga 1000 cc.
Ora che abbiamo 167 risultati basta chiedere ad Excel di evidenziarci
solo quelli che sono più simili a 100, 200, 300, ecc. ecc.
Basterà osservare la formula che ha dato questi circa 100, 200, 300,
ecc. ecc. e passiamo ad incidere le tacche sulla caraffa.
L'approssimazione al mm è tipica di come me e te lavora (a livello di ragionamento, eh!) con grandezze piccole e approssimazioni piccole, che nei tuoi lavori col ferro o i miei giochini col ferro funzionano bene, ma siamo lontani da una formula che leghi quei valori del tronco di cono e ci restituisca un altro valore.
Post by Fabbrogiovanni
Fabbrogiovanni
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Fabbrogiovanni
2020-04-20 21:46:31 UTC
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Post by f***@gmail.com
Post by Fabbrogiovanni
Una delle due incognite (il R maggiore) la troviamo facilmente.
Conoscendo quella in basso e quella in alto dividiamo l'altezza in
parti quasi infinite, diciamo passo 1 mm (e abbiamo trovato la terza
incognita)
Perdonami ma non colgo la relazione che lega la variazione di h e di R
Spero di non fare brutta figura e provo a perseverare:-)

Prendiamo la tua caraffa e la mettiamo sdraiata sul tavolo, con uno
spessore sotto al diametro minore, in modo che i due diametri, minore e
maggiore, siano perfettamente verticali.

Come vedi ora la parete che prima era verticale ora è una rampa che
avrà una pendenza di ics%.

Vale a dire che se avanzi di 1 cm. in orizzontale salirai di ics in
verticale.

Raddoppia questo ics, aggiungilo al diametro minore e avrai il diametro
maggiore.
E il 1 cm. che abbiamo avanzato sarà l'altezza del tronco di cono di
cui calcolare il volume.
Post by f***@gmail.com
L'approssimazione al mm è tipica di come me e te lavora (a livello di
ragionamento, eh!) con grandezze piccole e approssimazioni piccole, che nei
tuoi lavori col ferro o i miei giochini col ferro funzionano bene, ma siamo
lontani da una formula che leghi quei valori del tronco di cono e ci
restituisca un altro valore.
Qui passo, come premesso dall'inizio la faccenda è di livello troppo
alto per le mie capacità.
--
Fabbrogiovanni

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Gianluca
2020-04-20 18:01:41 UTC
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Post by f***@gmail.com
Post by emilio
secondo me ,partendo dalla formula del volume del tronco di cono
http://www.ripmat.it/mate/g/gk/gkdc.html
ed usando un foglio di calcolo (excel o simili) puoi ottenere quello che
chiedi
calcolando il volume V ,in funzione dell'altezza h
Si certo, però non riesco ad estrapolare la mia incognita "Altezza"...
V=⅓πh(R²+Rr+r²)
V è nota
R ed r sono note. Ma utilizzando questi due dati ottengo il volume totale, che non è quello che cerco. Secondo me manca un elemento da aggiungere, ma lascio la parola a chi ha (ancora) più dimestichezza di me con la geometria solida...
Se non ho fatto male i conti risulta questo:

- suppongo che le basi siano circolari;
- l'inclinazione dal basso verso l'alto è data da (R-r)/h= tgF;
- pi=pigreco
- il volume all'altezza h è uguale a: V(h)=
h/3*pi*(3r^2+3rh(tgF)+h^2(tgF)^2)


Gianluca
f***@gmail.com
2020-04-20 18:31:20 UTC
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Post by Gianluca
Post by f***@gmail.com
Post by emilio
secondo me ,partendo dalla formula del volume del tronco di cono
http://www.ripmat.it/mate/g/gk/gkdc.html
ed usando un foglio di calcolo (excel o simili) puoi ottenere quello che
chiedi
calcolando il volume V ,in funzione dell'altezza h
Si certo, però non riesco ad estrapolare la mia incognita "Altezza"...
V=⅓πh(R²+Rr+r²)
V è nota
R ed r sono note. Ma utilizzando questi due dati ottengo il volume totale, che non è quello che cerco. Secondo me manca un elemento da aggiungere, ma lascio la parola a chi ha (ancora) più dimestichezza di me con la geometria solida...
- suppongo che le basi siano circolari;
- l'inclinazione dal basso verso l'alto è data da (R-r)/h= tgF;
- pi=pigreco
- il volume all'altezza h è uguale a: V(h)=
h/3*pi*(3r^2+3rh(tgF)+h^2(tgF)^2)
interessante, immagino che tg stia per tangente, non capisco cosa sia F, ma l'uso della trigonometria potrebbe essere una soluzione!
Però potresti commentare un pò la funzione che hai estrapolato, che mi sembra al momento un pò astrusa?
Post by Gianluca
Gianluca
grazie Gianluca
Gianluca
2020-04-21 08:05:59 UTC
Permalink
interessante, immagino che tg stia per tangente, non capisco cosa sia F, ma l'uso della trigonometria >potrebbe essere una soluzione!
Però potresti commentare un pò la funzione che hai estrapolato, che mi sembra al momento un pò astrusa?
Ieri sera ho fatto le cose un po' di fretta e non del tutto
correttamente (non sono un matematico).

Nella formula che ho postato ho sottinteso che l'altezza h fosse
variabile, ma mi rendo conto che questo causa ambiguità.

Ho riscritto in bella copia i calcoli, che trovi al seguente link:
Loading Image...

Ho chiamato x l'altezza variabile da 0 ad h ed usato la formula che dà
direttamente il volume del tronco di cono (nota che la formula è
simmetrica in B e b, cioè, scambiando B con b il risultato non cambia
per cui posso tranquillamente pensare che la base inferiore sia in basso).

La formula fornisce V in funzione dell'altezza di riempimento x.
Se vuoi trovare l'altezza x - partendo da un livello dato di riempimento
(es. 50 mm) - che incrementa di 100 mmc il volume, dovrai scrivere
l'equazione: V(x)-V(50)=100 e risolvere l'equazione di secondo grado in x.


Gianluca
f***@gmail.com
2020-04-21 09:06:32 UTC
Permalink
Post by Gianluca
interessante, immagino che tg stia per tangente, non capisco cosa sia F, ma l'uso della trigonometria >potrebbe essere una soluzione!
Però potresti commentare un pò la funzione che hai estrapolato, che mi sembra al momento un pò astrusa?
Ieri sera ho fatto le cose un po' di fretta e non del tutto
correttamente (non sono un matematico).
Nella formula che ho postato ho sottinteso che l'altezza h fosse
variabile, ma mi rendo conto che questo causa ambiguità.
https://i.postimg.cc/8cn7nbV5/IMG-0943.jpg
Ho chiamato x l'altezza variabile da 0 ad h ed usato la formula che dà
direttamente il volume del tronco di cono (nota che la formula è
simmetrica in B e b, cioè, scambiando B con b il risultato non cambia
per cui posso tranquillamente pensare che la base inferiore sia in basso).
La formula fornisce V in funzione dell'altezza di riempimento x.
Se vuoi trovare l'altezza x - partendo da un livello dato di riempimento
(es. 50 mm) - che incrementa di 100 mmc il volume, dovrai scrivere
l'equazione: V(x)-V(50)=100 e risolvere l'equazione di secondo grado in x.
Gianluca
Grazie, ora è molto più chiaro grazie alla foto dei calcoli fatti. Si tratta ora di fare dei confronti tra il calcolo teorico e prove empiriche per capire se c'è corrispondenza.
Grazie, SE ci fossi arrivato avrei impiegato un anno! :D
emilio
2020-04-21 15:43:37 UTC
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Post by f***@gmail.com
Post by emilio
secondo me ,partendo dalla formula del volume del tronco di cono
http://www.ripmat.it/mate/g/gk/gkdc.html
ed usando un foglio di calcolo (excel o simili) puoi ottenere quello che
chiedi
calcolando il volume V ,in funzione dell'altezza h
Si certo, però non riesco ad estrapolare la mia incognita "Altezza"...
V=⅓πh(R²+Rr+r²)
V è nota
R ed r sono note. Ma utilizzando questi due dati ottengo il volume totale, che non è quello che cerco. Secondo me manca un elemento da aggiungere, ma lascio la parola a chi ha (ancora) più dimestichezza di me con la geometria solida...
affronti il problema in modo errato, devi calcolare il volume in funzione
del area maggiore e dell'area minore,ma riferita all'altezza
ch'è considerata in quel momento...non a quella ultima in alto
comunque con Excel se metti i parametri ottieni tutti i valori di volume per
ogni frazione di h che vuoi e se fai la differenza tra i valori ottieni la
variazione di volume per variazione di h
Giacobino da Tradate
2020-04-20 18:34:01 UTC
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Il giorno Mon, 20 Apr 2020 08:59:25 -0700 (PDT)
Post by f***@gmail.com
alta 167mm di cui posso misurare la base minore (68mm) e
quella superiore (86mm).
si' ma la misura a cosa si riferisce, al diametro o al raggio?
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2020-04-20 20:52:48 UTC
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Post by Giacobino da Tradate
Il giorno Mon, 20 Apr 2020 08:59:25 -0700 (PDT)
Post by f***@gmail.com
alta 167mm di cui posso misurare la base minore (68mm) e
quella superiore (86mm).
si' ma la misura a cosa si riferisce, al diametro o al raggio?
Mea culpa errore mio trattasi di diametro e non di raggio, ma, in realtà non cambia il concetto, a noi serve una relazione tra questi parametri, una formula in poche parole che ci offra il risultato richiesto...
Tanti anni fa il mio prof avrebbe detto: "Oggi compito in classe! Problema: dato un tronco di cono di cui conosciamo..."
Post by Giacobino da Tradate
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Giacobino da Tradate
2020-04-21 09:13:48 UTC
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Il giorno Mon, 20 Apr 2020 13:52:48 -0700 (PDT)
Post by f***@gmail.com
realtà non cambia il concetto, a noi serve una relazione tra questi
parametri, una formula in poche parole che ci offra il risultato
richiesto...
Devi aspettare la risposta di Martello, lui lo sa.

un paio di anni fa avevo posto un problema simile (era un fosso da
riempire di ghiaia), che partiva largo e profondo e finiva stretto e
basso, in pratica c'e' da fare un calcolo di analisi matematica, non e'
solo geometria.

dato il volume aggiuntivo, come cambia l'altezza? nel frattempo che
versi, pero', cambia anche la sezione del calice, quindi come hai
detto anche tu, hai due incogite con una variabile sola. Non basta una
equazione sola.
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Giacobino da Tradate
2020-04-20 18:46:53 UTC
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Il giorno Mon, 20 Apr 2020 08:59:25 -0700 (PDT)
Post by f***@gmail.com
Ho una caraffa
in vetro, alta 167mm di cui posso misurare la base minore (68mm) e
quella superiore (86mm).
volume della caraffa = sqrt([43*43*pi]*[34*34*pi]) * 167 / 3 = 255424
microlitri pari a 255 millilitri.
Post by f***@gmail.com
Supponiamo che verso 100ml di acqua, essa raggiungerà una certa
altezza.
un po' meno della meta'
Post by f***@gmail.com
Quale altezza raggiungerà l’aggiunta di altri 100ml di acqua?
circa i quattro quinti
Post by f***@gmail.com
E altri 100?
trabocca.
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2020-04-20 20:59:50 UTC
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Post by Giacobino da Tradate
Il giorno Mon, 20 Apr 2020 08:59:25 -0700 (PDT)
Post by f***@gmail.com
Ho una caraffa
in vetro, alta 167mm di cui posso misurare la base minore (68mm) e
quella superiore (86mm).
volume della caraffa = sqrt([43*43*pi]*[34*34*pi]) * 167 / 3 = 255424
microlitri pari a 255 millilitri.
Post by f***@gmail.com
Supponiamo che verso 100ml di acqua, essa raggiungerà una certa
altezza.
un po' meno della meta'
Post by f***@gmail.com
Quale altezza raggiungerà l’aggiunta di altri 100ml di acqua?
circa i quattro quinti
Post by f***@gmail.com
E altri 100?
trabocca.
In maniera empirometrica o spannometrica che dir si voglia, arriviamo un pò tutti con un certo grado di approssimazione alla soluzione. Tanto più non è questione di vita o di morte: ho preso un cilindro graduato da 100ml, e ad ogni altezza ho segnato una tacca. E considerando che la differenza tra le due basi non è enorme (non ha certo la forma di un vaso da fiori) si può immaginarlo quasi come un cilindro.
Resta però lo smacco di non aver saputo trovare una formula matematica da applicare semplicemente!
Post by Giacobino da Tradate
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Archaeopteryx
2020-04-20 22:25:24 UTC
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Post by f***@gmail.com
ne vengo a capo. Ecco il punto. Ho una caraffa in
vetro, alta 167mm di cui posso misurare la base minore
(68mm) e quella superiore (86mm). La domanda è
questa. Supponiamo che verso 100ml di acqua, essa
raggiungerà una certa altezza. Quale altezza
raggiungerà l’aggiunta di altri 100ml di acqua? E
altri 100? Insomma, esisterà una formula che mi
permetta, dati gli elementi noti, di sapere a quanti mm
otterrò il raddoppio del volume...
Ho provato a fare il calcolo; concettualmente è banale ma
richiede un po' di "muscoletti" matematici e se sei
curioso e lo vuoi, posto le foto di tutti i calcoli con le
verifiche della formula. Diciamo che una mezz'oretta mi ci
è voluta perché sono parecchio arrugginito ma a intuito mi
torna (analisi dimensionale e test dei due casi limite).

Detti:

R1: raggio della base di appoggio inferiore
R2: raggio del bordo superiore
H: l'altezza della caraffa
S: l'altezza generica del pelo di liquido misurata dalla
base (per capirci: S varia tra 0 e H)

mi viene:

V = (pi/3H)*[(R2-R1)^2*S^3+3*(R2-R1)*R1*H*S^2+
+3*H^2*R1^2*S]

Ora, per la tua domanda ovvero sapere a quale incremento
dell'altezza del pelo libero dell'acqua corrisponde un
raddoppio di volume, trovare la formula la vedo duretta.
Occorre ricavare S dal malloppone qui sopra e farlo in
forma algebrica è un po' lungo, presumo si otterrà una
formula anche poco maneggevole anche se è una normale
equazione di III grado che si riduce immediatamente a una
di II.

Se è una curiosità mi fermo qui, e puoi provare per
tentativi o fare un grafico tramite la formula. Ma se dici
che da questo problema dipende la tua vita qualche
volenteroso potrebbe pure far risolvere l'equazione a
Matlab, insomma, grazie ai potenti mezzi del NG
sicuramente verremo fuori anche da questo problemino :D
--
Ieri ho fatto la spesa ed è stato come la prima
volta che ho fatto sesso. E' stato meraviglioso,
è durato poco e ho speso 50 euro.
Archaeopteryx
2020-04-20 22:28:31 UTC
Permalink
Ops, mi è sfuggito un quadrato, quella corretta è:


V = (pi/3H^2)*[(R2-R1)^2*S^3+3*(R2-R1)*R1*H*S^2+
+3*H^2*R1^2*S]
--
Ieri ho fatto la spesa ed è stato come la prima
volta che ho fatto sesso. E' stato meraviglioso,
è durato poco e ho speso 50 euro.
Paperino
2020-04-20 22:30:34 UTC
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Post by Archaeopteryx
Post by f***@gmail.com
ne vengo a capo. Ecco il punto. Ho una caraffa in vetro,
alta 167mm di cui posso misurare la base minore (68mm) e
quella superiore (86mm). La domanda è
questa. Supponiamo che verso 100ml di acqua, essa
raggiungerà una certa altezza. Quale altezza
raggiungerà l’aggiunta di altri 100ml di acqua? E
altri 100? Insomma, esisterà una formula che mi
permetta, dati gli elementi noti, di sapere a quanti mm
otterrò il raddoppio del volume...
Ho provato a fare il calcolo; concettualmente è banale ma
richiede un po' di "muscoletti" matematici e se sei
curioso e lo vuoi, posto le foto di tutti i calcoli con le
verifiche della formula. Diciamo che una mezz'oretta mi ci
è voluta perché sono parecchio arrugginito ma a intuito mi
torna (analisi dimensionale e test dei due casi limite).
R1: raggio della base di appoggio inferiore
R2: raggio del bordo superiore
H: l'altezza della caraffa
S: l'altezza generica del pelo di liquido misurata dalla
base (per capirci: S varia tra 0 e H)
V = (pi/3H)*[(R2-R1)^2*S^3+3*(R2-R1)*R1*H*S^2+
+3*H^2*R1^2*S]
Ora, per la tua domanda ovvero sapere a quale incremento
dell'altezza del pelo libero dell'acqua corrisponde un
raddoppio di volume, trovare la formula la vedo duretta.
Occorre ricavare S dal malloppone qui sopra e farlo in
forma algebrica è un po' lungo, presumo si otterrà una
formula anche poco maneggevole anche se è una normale
equazione di III grado che si riduce immediatamente a una di
II.
Se è una curiosità mi fermo qui, e puoi provare per
tentativi o fare un grafico tramite la formula. Ma se dici
che da questo problema dipende la tua vita qualche
volenteroso potrebbe pure far risolvere l'equazione a
Matlab, insomma, grazie ai potenti mezzi del NG sicuramente
verremo fuori anche da questo problemino :D
Senza sminuire le menti locali, visto che non me lo posso
certo permettere :-), immagino che su it.scienza.matematica
se la caverebbero abbastanza facilmente.

Bye, G.
Archaeopteryx
2020-04-20 22:49:24 UTC
Permalink
Post by Paperino
Senza sminuire le menti locali, visto che non me lo posso
certo permettere :-), immagino che su it.scienza.matematica
se la caverebbero abbastanza facilmente.
Non ho dubbi, è un problema che almeno quando studiavo io
era da medie inferiori, quindi per un'utenza di livello
così alto come c'è lì, è meno che banale; delle due il
pericolo è che forse nemmeno lo degna di uno sguardo :D
--
Ieri ho fatto la spesa ed è stato come la prima
volta che ho fatto sesso. E' stato meraviglioso,
è durato poco e ho speso 50 euro.
LAB
1970-01-01 00:00:00 UTC
Permalink
Archaeo, la mia è molto più semplice! L'hai vista? Calcolo il
volume in base al diametro medio tra quello al livello del
liquido e quello alla base. Uhmm... Adesso che ci penso, però,
non è lineare! Ci sarà un 15% di errore?

V=h*d^2
d=1 v=1
d=2 v=4
d=3 v=9
--
Vieni a trovarci su Youtube: https://goo.gl/522kv4
LAB
1970-01-01 00:00:00 UTC
Permalink
Ecco i calcoli:
Loading Image...
Forse basta fare la media quadratica Sqr(d(h)*d) anziché (d(h)+d)/2
--
Vieni a trovarci su Youtube: https://goo.gl/522kv4
Archaeopteryx
2020-04-20 22:50:42 UTC
Permalink
Archaeo, la mia è molto più semplice!
Non è vero che è più semplice, hai fatto uno sviluppo in
serie di potenze troncato al primo termine, è la mia a
essere semplice :PPPPPP
--
Ieri ho fatto la spesa ed è stato come la prima
volta che ho fatto sesso. E' stato meraviglioso,
è durato poco e ho speso 50 euro.
Archaeopteryx
2020-04-20 22:43:50 UTC
Permalink
Post by Archaeopteryx
Occorre ricavare S dal malloppone qui sopra e farlo in
forma algebrica è un po' lungo, presumo si otterrà una
formula anche poco maneggevole anche se è una normale
equazione di III grado che si riduce immediatamente a una
di II.
Altra rettifica, mi sa che l'equazione resta di III grado,
la formula esiste ma anche se la si fa calcolare da
qualche software di matematica è assolutamente fuori
questione utilizzarla. Si può fare per via grafica, ad
esempio.
--
Ieri ho fatto la spesa ed è stato come la prima
volta che ho fatto sesso. E' stato meraviglioso,
è durato poco e ho speso 50 euro.
LAB
1970-01-01 00:00:00 UTC
Permalink
... oppure per approssimazioni successive.
--
Vieni a trovarci su Youtube: https://goo.gl/522kv4
LAB
1970-01-01 00:00:00 UTC
Permalink
Un programmino in C che approssima fino a ottenere la precisione
desiderata :)
--
Vieni a trovarci su Youtube: https://goo.gl/522kv4
Archaeopteryx
2020-04-20 22:52:05 UTC
Permalink
Post by LAB
Un programmino in C che approssima fino a ottenere la
precisione desiderata :)
Certo, ricordo che la formula di Newton fu uno dei miei
primi esercizi di programmazione, ero quasi un marmocchio
:(((((
--
Ieri ho fatto la spesa ed è stato come la prima
volta che ho fatto sesso. E' stato meraviglioso,
è durato poco e ho speso 50 euro.
JTS
2020-04-20 23:02:25 UTC
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Post by f***@gmail.com
OT. Ciao, chiedo scusa se è inappropriato pubblicare qui questa domanda, ma per esperienza ho trovato più risposte qui che in ore di ricerca in rete...ovviamente i moderatori cancellino o spostino come ritengono più opportuno.
Vorrei risolvere un problema che mi si è insinuato nella testa che però non riesco a risolvere. Farlo in maniera empirica e (a grandi linee) abbastanza preciso non è troppo difficile, ma per quanto abbia frequentato il liceo scientifico (ormai 35 anni fa) non ne vengo a capo. Ecco il punto. Ho una caraffa in vetro, alta 167mm di cui posso misurare la base minore (68mm) e quella superiore (86mm). La domanda è questa. Supponiamo che verso 100ml di acqua, essa raggiungerà una certa altezza. Quale altezza raggiungerà l’aggiunta di altri 100ml di acqua? E altri 100? Insomma, esisterà una formula che mi permetta, dati gli elementi noti, di sapere a quanti mm otterrò il raddoppio del volume...
Io lo farei cosi'.

Il volume del tronco di cono e' uguale al volume del cono che ottengo se
faccio "crescere il solido" fino a farlo arrivare alla punta (quindi il
cono da cui deriva per troncamento) meno il volume della parte mancante,
che e' un cono piu' piccolo.

Chiamo

pi il pi greco
R il raggio grande del recipiente
r il raggio piccolo del recipiente
h l'altezza del recipiente
r' il raggio della superficie superiore dell'acqua
h' l'altezza dell'acqua
(nel fare i conti estendero' la definizione di r' e h' a volumi che
superano il volume del recipiente)

h_c l'altezza del cono "originale"

V_grande il volume del cono originale

V_piccolo il volume del cono che e' la differenza fra il cono originale
e il volume *attualmente occupato dall'acqua*.


Aggiungere 100 ml di acqua nel recipiente e' come togliere 100 ml di
aria al cono piccolo; la formula del volume del cono e' piu' semplice di
quella del tronco di cono quindi sara' piu' semplice invertirla. Quindi
ci conviene considerare il cono piccolo piuttosto che il tronco di cono.

Mi procuro come primo passo l'altezza del cono grande, che mi serve per
trovare l'altezza del cono piccolo in funzione dell'altezza dell'acqua.
La trovo considerando che posso trovare il raggio della superficie
superiore del tronco di cono in funzione dell'altezza, e che questo e'
uguale a zero quando l'altezza e' uguale a quella del cono (sono
arrivato alla punta).

Il raggio in funzione dell'altezza lo ottengo considerando che deve
essere una funzione lineare dell'altezza uguale a R per h' = 0 e uguale
a r per h' = h.

Quindi

r' = R*(1-h'/h) + r*h'/h

trovo h' tale che r' = 0, e ottengo l'altezza del cono "originale":

h_c = h * R / (R-r)

Il volume del cono originale e'

V_grande = 1/3 * pi * R * h_c

e adesso ho il volume del cono piccolo (parte vuota del recipiente piu'
pezzo che manca per completare il cono) in funzione del volume dell'acqua

V_piccolo = V_grande - V_acqua

Ora calcolo il volume del cono piccolo in funzione dell'altezza dell'acqua

V_piccolo = 1/3 * pi * r' * (h_c - h')

Noto che posso esprimere r' in funzione di h_c - h', l'altezza del cono
piccolo; mi conviene arrivarci "direttamente": e' di nuovo una funzione
lineare di h_c - h', uguale a zero quando h' = h_c e uguale ad R quando
h' = 0. Quindi

r' = R * (h_c - h') / h_c

e

V_piccolo = 1/3 * pi * R * (h_c - h')^2 / h_c

da cui

h_c - h' = sqrt(V_piccolo * h_c /(1/3 * pi* R))

dove con sqrt ho indicato la radice quadrata e infine

h' = h_c - sqrt(V_piccolo * h_c /(1/3 * pi* R))

Sostituisci la formula di h_c che abbiamo trovato e l'espressione di
V_piccolo in funzione dei dati del problema (dimensioni del tronco di
cono e quantita' d'acqua) ed hai il valore di h', l'altezza dell'acqua.
JTS
2020-04-20 23:05:37 UTC
Permalink
Post by JTS
Io lo farei cosi'.
Mi sono accorto adesso della soluzione di LAB piu' in alto nel thread,
ma non ho controllato se e' la stessa mia.
Archaeopteryx
2020-04-21 07:03:15 UTC
Permalink
Post by JTS
Mi sono accorto adesso della soluzione di LAB piu' in
alto nel thread, ma non ho controllato se e' la stessa
mia.
Ma in compenso anche io ho fatto come te, solo che come
sempre non vedo le semplificazioni che si possono fare
parto sparato con le formule; difatti la mia è
un'equazione di terzo grado, ovvero inutile volendo
tentare la soluzione in forma chiusa :D
--
Ieri ho fatto la spesa ed è stato come la prima
volta che ho fatto sesso. E' stato meraviglioso,
è durato poco e ho speso 50 euro.
f***@gmail.com
2020-04-21 07:20:26 UTC
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Devo mettermi un pò sotto con carta e penna e fare anche un minimo di disegno per capire bene i vari passaggi. L’unico dubbio che mi viene è proprio l’approccio fatto: mi pare di capire che consideriamo il tronco di cono poggiato su R, mentre nella realtà se costruissimo il “cono originale” da cui deriva esso sarebbe poggiato sulla punta. Ma probabilmente ai fini della soluzione è ininfluente.
Grazie a tutti per il contributo, come spesso accade un problema che a prima sembra banale nella sua descrizione matematica non lo è più. Io proverei anche a porre il quesito sul gruppo di matematica e vedrei che dicono, tanto nel migliore dei casi mi fanno una pernacchia, nel peggiore mi ignorano :D
Archaeopteryx
2020-04-21 08:33:11 UTC
Permalink
Devo mettermi un pò sotto con carta e penna e fare
anche un minimo di disegno per capire bene i vari
passaggi. L’unico dubbio che mi viene è proprio
l’approccio fatto: mi pare di capire che
consideriamo il tronco di cono poggiato su R, mentre
nella realtà se costruissimo il “cono originale” da
cui deriva esso sarebbe poggiato sulla punta.
Ecco la mia soluzione, in sostanza come era pressoché
obbligatorio, ho prolungato il tronco di cono e fatto la
differenza. Mi spiace per la grafia pessima, una volta
scrivevo bene ma la disabitudine... :(

https://postimg.cc/gallery/W2yNSkx

L'idea è quella di trovare anzitutto l'altezza del cono di
"completamento", che con i simboli che ho già detto e che
comunque sono riportati, vale R1*H/(R2-R1). Il secondo
ingrediente è il raggio del cono in funzione dell'altezza
S del pelo libero dalla base inferiore. Anche stavolta con
una proporzione si trova R(s)=R1+((R2-R1)*S)/H. Il resto è
ovvio, volume dei coni e sottrazione. C'è anche il test
che ho fatto con i due ovvii casi limite. Dimensionalmente
torna perché a numeratore c'è un'espressione omogenea di V
grado e al denominatore una di II, quindi ne restano i 3
da cui ogni bravo volume deve dipendere.
--
Ieri ho fatto la spesa ed è stato come la prima
volta che ho fatto sesso. E' stato meraviglioso,
è durato poco e ho speso 50 euro.
JTS
2020-04-21 09:17:14 UTC
Permalink
Post by f***@gmail.com
L’unico dubbio che mi viene è proprio l’approccio fatto: mi pare di capire che consideriamo il tronco di cono poggiato su R, mentre nella realtà se costruissimo il “cono originale” da cui deriva esso sarebbe poggiato sulla punta. Ma probabilmente ai fini della soluzione è ininfluente.
Non me ne ero accorto :-)

In questo caso fingerei che la parte mancante del cono sia gia' piena e
esprimerei il volume in funzione dell'altezza totale, doverbbe venire
nuovamente un'equazione facile da invertire. Poi posto anche questa.
JTS
2020-04-21 16:08:49 UTC
Permalink
Post by f***@gmail.com
Devo mettermi un pò sotto con carta e penna e fare anche un minimo di disegno per capire bene i vari passaggi. L’unico dubbio che mi viene è proprio l’approccio fatto: mi pare di capire che consideriamo il tronco di cono poggiato su R, mentre nella realtà se costruissimo il “cono originale” da cui deriva esso sarebbe poggiato sulla punta. Ma probabilmente ai fini della soluzione è ininfluente.
Grazie a tutti per il contributo, come spesso accade un problema che a prima sembra banale nella sua descrizione matematica non lo è più. Io proverei anche a porre il quesito sul gruppo di matematica e vedrei che dicono, tanto nel migliore dei casi mi fanno una pernacchia, nel peggiore mi ignorano :D
Ho rifatto la soluzione per il caso "punta all'ingiu'", cercando
stavolta di stare attento con i fattori.

Elenco i simboli (ci sono delle differenze rispetto alla prima soluzione).

Chiamo

pi il pi greco
R il raggio grande del recipiente
r il raggio piccolo del recipiente
h l'altezza del recipiente


r' il raggio della superficie superiore dell'acqua
h' l'altezza dell'acqua
(nel fare i conti estendero' la definizione di h' a valori negativi)
V_acqua il volume dell'acqua

h_piccolo l'altezza del cono piccolo (la punta che manca al tronco di cono)
h'_piccolo l'altezza del cono piccolo dotata di segno
V_piccolo il volume del cono piccolo

h_totale l'altezza dell'acqua rispetto alla punta del cono
V_totale la somma del cono piccolo e del volume occupato dall'acqua



Come nella prima soluzione

r' = r + (h'/h) * (R-r)

Pongo r' = 0 per trovare l'altezza del cono piccolo, mi viene un valore
negativo (devo scendere per andare verso la punta):

h'_piccolo = - h * r / (R-r)

da cui

h_piccolo = h * r / (R-r)

e

V_piccolo = pi/3 * h_piccolo * r^2

Il volume del cono formato dal cono piccolo piu' l'acqua e'

V_totale = V_piccolo + V_acqua

e lo conosco perche' V_acqua e' dato del problema e V_piccolo lo ho
calcolato.

Esprimo V_totale in funzione dell'altezza h_totale

V_totale = pi/3 * h_totale * r'^2

e r' usando h_totale

r' = r * h_totale/h_piccolo

quindi ho V_totale in funzione di h_totale

V_totale = pi/3 * h_totale^3 * r^2 / h_piccolo^2

Da questa ottengo h_totale facendo la radice cubica

h_totale = cbrt (3/pi * V_totale * h_piccolo^2 / r^2)

e infine

h' = h_totale - h_piccolo
JTS
2020-04-21 16:09:25 UTC
Permalink
Post by JTS
h_totale = cbrt (3/pi * V_totale * h_piccolo^2 / r^2)
con cbrt indico la radice cubica (credo si capisse).
JTS
2020-04-21 09:14:42 UTC
Permalink
Post by JTS
Post by f***@gmail.com
OT. Ciao, chiedo scusa se è inappropriato pubblicare qui questa
domanda, ma per esperienza ho trovato più risposte qui che in ore di
ricerca in rete...ovviamente i moderatori cancellino o spostino come
ritengono più opportuno.
Vorrei risolvere un problema che mi si è insinuato nella testa che
però non riesco a risolvere. Farlo in maniera empirica e (a grandi
linee) abbastanza preciso non è troppo difficile, ma per quanto abbia
frequentato il liceo scientifico (ormai 35 anni fa) non ne vengo a
capo. Ecco il punto. Ho una caraffa in vetro, alta 167mm di cui posso
misurare la base minore (68mm) e quella superiore (86mm). La domanda è
questa. Supponiamo che verso 100ml di acqua, essa raggiungerà una
certa altezza. Quale altezza raggiungerà l’aggiunta di altri 100ml di
acqua? E altri 100? Insomma, esisterà una formula che mi permetta,
dati gli elementi noti, di sapere a quanti mm otterrò il raddoppio del
volume...
Io lo farei cosi'.
Il volume del tronco di cono e' uguale al volume del cono che ottengo se
faccio "crescere il solido" fino a farlo arrivare alla punta (quindi il
cono da cui deriva per troncamento) meno il volume della parte mancante,
che e' un cono piu' piccolo.
Chiamo
pi il pi greco
R il raggio grande del recipiente
r il raggio piccolo del recipiente
h l'altezza del recipiente
r' il raggio della superficie superiore dell'acqua
h' l'altezza dell'acqua
(nel fare i conti estendero' la definizione di r' e h' a volumi che
superano il volume del recipiente)
h_c l'altezza del cono "originale"
V_grande il volume del cono originale
V_piccolo il volume del cono che e' la differenza fra il cono originale
e il volume *attualmente occupato dall'acqua*.
Aggiungere 100 ml di acqua nel recipiente e' come togliere 100 ml di
aria al cono piccolo; la formula del volume del cono e' piu' semplice di
quella del tronco di cono quindi sara' piu' semplice invertirla. Quindi
ci conviene considerare il cono piccolo piuttosto che il tronco di cono.
Mi procuro come primo passo l'altezza del cono grande, che mi serve per
trovare l'altezza del cono piccolo in funzione dell'altezza dell'acqua.
La trovo considerando che posso trovare il raggio della superficie
superiore del tronco di cono in funzione dell'altezza, e che questo e'
uguale a zero quando l'altezza e' uguale a quella del cono (sono
arrivato alla punta).
Il raggio in funzione dell'altezza lo ottengo considerando che deve
essere una funzione lineare dell'altezza uguale a R per h' = 0 e uguale
a r per h' = h.
Quindi
r' = R*(1-h'/h) + r*h'/h
h_c = h * R / (R-r)
Il volume del cono originale e'
V_grande = 1/3 * pi * R * h_c
e adesso ho il volume del cono piccolo (parte vuota del recipiente piu'
pezzo che manca per completare il cono) in funzione del volume dell'acqua
V_piccolo = V_grande - V_acqua
Ora calcolo il volume del cono piccolo in funzione dell'altezza dell'acqua
V_piccolo = 1/3 * pi * r' * (h_c - h')
Noto che posso esprimere r' in funzione di h_c - h', l'altezza del cono
piccolo; mi conviene arrivarci "direttamente": e' di nuovo una funzione
lineare di h_c - h', uguale a zero quando h' = h_c e uguale ad R quando
h' = 0. Quindi
r' = R * (h_c - h') / h_c
e
V_piccolo = 1/3 * pi * R * (h_c - h')^2 / h_c
da cui
h_c - h' = sqrt(V_piccolo * h_c /(1/3 * pi* R))
dove con sqrt ho indicato la radice quadrata e infine
h' = h_c  - sqrt(V_piccolo * h_c /(1/3 * pi* R))
Sostituisci la formula di h_c che abbiamo trovato e l'espressione di
V_piccolo in funzione dei dati del problema (dimensioni del tronco di
cono e quantita' d'acqua) ed hai il valore di h', l'altezza dell'acqua.
Ho dimenticato qualche quadrato :-) ma credo il metodo per avere
un'espressione facile da invertire funzioni, poi lo correggo.
f***@gmail.com
2020-04-21 09:19:52 UTC
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Direi che l'approccio di Archaeopteryx e Gianluca sono un pò diversi. Da una parte un calcolo un pò più snello (Gianluca) grazie alle funzioni trigonometriche che però porta con se una ovvia approssimazione, dall'altro una funzione un pò più corposa che andrebbe fatta eseguire ad un software per evitare di stare a fare mezz'ora di calcoli ad ogni variazione. Ma è anche quella che non apporta approssimazioni nell'applicazione reale.
Grazie!
Archaeopteryx
2020-04-21 09:27:54 UTC
Permalink
Post by f***@gmail.com
Direi che l'approccio di Archaeopteryx e Gianluca sono
un pò diversi. Da una parte un calcolo un pò più
snello (Gianluca) grazie alle funzioni trigonometriche
che però porta con se una ovvia approssimazione,
dall'altro una funzione un pò più corposa che
andrebbe fatta eseguire ad un software per evitare di
stare a fare mezz'ora di calcoli ad ogni variazione. Ma
è anche quella che non apporta approssimazioni
nell'applicazione reale. Grazie!
Ho proceduto come ho fatto perché non mi era chiaro lo
scopo che avevi o ancora hai. Dato che in pratica con una
misura si fa prima ho pensato che avessi colto il pretesto
del problema per capire come si fa e rinfrescare un po' di
matematica. Per lo stesso motivo ho evitato la
trigonometria, che chiaramente rende anche la soluzione
esatta più semplice; di fatto tutti i miei (R2-R1)/H sono
null'altro che tg(fi).
--
Ieri ho fatto la spesa ed è stato come la prima
volta che ho fatto sesso. E' stato meraviglioso,
è durato poco e ho speso 50 euro.
El Filibustero
2020-04-21 17:41:02 UTC
Permalink
Post by f***@gmail.com
Direi che l'approccio di Archaeopteryx e Gianluca sono un pò diversi.
Soluzione esatta:

h=d*y2*((radicecubica(1 + 12*V*(y1-y2)/(d*y2^3*pigreco))) - 1)/(y1-y2)

dove d e' l'altezza della caraffa, y1 il diametro dell'imboccatura e
y2 il diametro della base d'appoggio, V il volume di liquido versato.

Visto che non c'e' tanta differenza tra le basi, una soluzione senza
radici cubiche abbastanza ben approssimata per piccoli volumi e'

h =~ 4V/(pigreco y2^2) (1 - 4V/(pigreco y2^2)*(y1-y2)/(d*y2) )

con d = 16.7 cm, y1 = 8.6 cm, y2 = 6.8 cm

risulta circa -- esprimendo V in millilitri --

h (in cm) =~ 0.028 V - 0.000012 V^2

Ciao

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