Post by JTSPost by f***@gmail.comOT. Ciao, chiedo scusa se è inappropriato pubblicare qui questa
domanda, ma per esperienza ho trovato più risposte qui che in ore di
ricerca in rete...ovviamente i moderatori cancellino o spostino come
ritengono più opportuno.
Vorrei risolvere un problema che mi si è insinuato nella testa che
però non riesco a risolvere. Farlo in maniera empirica e (a grandi
linee) abbastanza preciso non è troppo difficile, ma per quanto abbia
frequentato il liceo scientifico (ormai 35 anni fa) non ne vengo a
capo. Ecco il punto. Ho una caraffa in vetro, alta 167mm di cui posso
misurare la base minore (68mm) e quella superiore (86mm). La domanda è
questa. Supponiamo che verso 100ml di acqua, essa raggiungerà una
certa altezza. Quale altezza raggiungerà l’aggiunta di altri 100ml di
acqua? E altri 100? Insomma, esisterà una formula che mi permetta,
dati gli elementi noti, di sapere a quanti mm otterrò il raddoppio del
volume...
Io lo farei cosi'.
Il volume del tronco di cono e' uguale al volume del cono che ottengo se
faccio "crescere il solido" fino a farlo arrivare alla punta (quindi il
cono da cui deriva per troncamento) meno il volume della parte mancante,
che e' un cono piu' piccolo.
Chiamo
pi il pi greco
R il raggio grande del recipiente
r il raggio piccolo del recipiente
h l'altezza del recipiente
r' il raggio della superficie superiore dell'acqua
h' l'altezza dell'acqua
(nel fare i conti estendero' la definizione di r' e h' a volumi che
superano il volume del recipiente)
h_c l'altezza del cono "originale"
V_grande il volume del cono originale
V_piccolo il volume del cono che e' la differenza fra il cono originale
e il volume *attualmente occupato dall'acqua*.
Aggiungere 100 ml di acqua nel recipiente e' come togliere 100 ml di
aria al cono piccolo; la formula del volume del cono e' piu' semplice di
quella del tronco di cono quindi sara' piu' semplice invertirla. Quindi
ci conviene considerare il cono piccolo piuttosto che il tronco di cono.
Mi procuro come primo passo l'altezza del cono grande, che mi serve per
trovare l'altezza del cono piccolo in funzione dell'altezza dell'acqua.
La trovo considerando che posso trovare il raggio della superficie
superiore del tronco di cono in funzione dell'altezza, e che questo e'
uguale a zero quando l'altezza e' uguale a quella del cono (sono
arrivato alla punta).
Il raggio in funzione dell'altezza lo ottengo considerando che deve
essere una funzione lineare dell'altezza uguale a R per h' = 0 e uguale
a r per h' = h.
Quindi
r' = R*(1-h'/h) + r*h'/h
h_c = h * R / (R-r)
Il volume del cono originale e'
V_grande = 1/3 * pi * R * h_c
e adesso ho il volume del cono piccolo (parte vuota del recipiente piu'
pezzo che manca per completare il cono) in funzione del volume dell'acqua
V_piccolo = V_grande - V_acqua
Ora calcolo il volume del cono piccolo in funzione dell'altezza dell'acqua
V_piccolo = 1/3 * pi * r' * (h_c - h')
Noto che posso esprimere r' in funzione di h_c - h', l'altezza del cono
piccolo; mi conviene arrivarci "direttamente": e' di nuovo una funzione
lineare di h_c - h', uguale a zero quando h' = h_c e uguale ad R quando
h' = 0. Quindi
r' = R * (h_c - h') / h_c
e
V_piccolo = 1/3 * pi * R * (h_c - h')^2 / h_c
da cui
h_c - h' = sqrt(V_piccolo * h_c /(1/3 * pi* R))
dove con sqrt ho indicato la radice quadrata e infine
h' = h_c - sqrt(V_piccolo * h_c /(1/3 * pi* R))
Sostituisci la formula di h_c che abbiamo trovato e l'espressione di
V_piccolo in funzione dei dati del problema (dimensioni del tronco di
cono e quantita' d'acqua) ed hai il valore di h', l'altezza dell'acqua.
