Post by JakDanielgh! messaggio recepito... ho male ipotizzato che fosse qualcosa di ben piu'
semplice.
Facciamo così : io ti offro qualcosa di semplice semplice, così puoi
decidere se approfondire l' argomento che ti interessa, con testi
ben più consoni di quanto segue.
Che quindi devi considerare solamente un acconto, ancorchè gratuito...
Da: "paulhass" <***@tiscalinet.it>
Oggetto: Piccolo corso di meccanica generale . Lez N°1.
Prima di iniziare sarà bene specificare che il contenuto del corso
è offerto a scopo puramente informativo e didattico.
Va da sè che non potrà essere altro che sommario ed incompleto,
anche perchè destinato ai soli rudimenti delle resistenze dei materiali
e del calcolo applicato ai casi più semplici, e quindi non
alla progettazione di strutture.
Chi volesse utilizzare le informazioni date per questo ultimo scopo
lo fa a suo esclusivo rischio e pericolo.
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Lezione n° 1 - Resistenza dei materiali.
( Con qualche piccolo richiamo introduttivo sulla terminologia,
così parliamo una unica lingua ).
Per semplicità adotteremo le unità di misura più comuni e consone
ad un hobbista, e cioè :
- per le forze : il Kg (Kilogrammo)
- per le lunghezze : il m (metro) ed il mm (millimetro)
- per le superfici : i mmq ( millimetri quadrati)
Altre definizioni importanti, che torneranno utili in seguito, sono :
- Baricentro (o centro di gravità) di un corpo : punto di applicazione
della risultante dei pesi di tutti i punti materiali di cui si immagina
costituito un corpo.
Il baricentro può essere anche riferito ad una figura piana,
cioè ad una superficie.
Se la superficie è simmetrica, il baricentro coincide con il centro
di figura. Ad esempio, il baricentro di un cerchio è il centro
del cerchio stesso, e quello di un rettangolo coincide con
l' intersezione dei due assi di simmetria, e così via.
-Momento di inerzia di un corpo : la somma dei prodotti delle masse
elementari di cui si immagina costituito il corpo moltiplicati
per il quadrato delle distanze dei rispettivi baricentri da un asse
di riferimento.
Se il concetto di cui sopra vi sembra difficile a capirsi, lo spiego
con un esempio.
Tutti sanno cosa è un volano : una rotella più o meno pesante, che
posta in rotazione con una fonte di energia esterna restituisce l' energia
immagazzinata. A parità di massa, più questa è collocata lontano dal
centro di rotazione, maggiore sarà il momento d' inerzia del volano stesso.
Cioè potrà essere posto in rotazione con più difficoltà, ma riuscirà
al contempo ad immagazzinare più energia.
Oltre che le rotelle, anche le figure piane hanno un loro momento d'inerzia:
ad esempio, a parità di superficie un cerchio avrà un momento d' inerzia
più piccolo rispetto ad un quadrato, od un rettangolo, od una figura
a forma di "H".
Il momento d' inerzia di una figura piana è una grandezza di quarto ordine
(cioè è espressa in mm alla quarta potenza) in quanto si ricava
moltiplicando una superficie (grandezza di secondo ordine) per una
distanza al quadrato (anch' essa quindi di secondo ordine), il che fa
per l' appunto una grandezza di quarto ordine.
Comunque non spaventatevi : i momenti d' inerzia, che in meccanica sono
chiamati con la lettera "J", si trovano già confezionati nei prontuari, e
nel corso stesso ci saranno le formule per calcolare quelli delle forme
che più ci interessano.
Fatti questi noiosi ma doverosi richiami, passiamo alla :
- Resistenza dei materiali -
Che non è, come qualcuno può pensare, la durezza quando sbattiamo
contro qualcosa con la testa :-), ma è quella parte della Meccanica
Applicata che tratta lo studio delle "deformazioni" che subisce un corpo
sotto l' azione di una forza esterna.
Essa stabilisce le regole e le formule necessarie al calcolo delle
dimensioni delle varie parti di una costruzione.
Proprio quello che ci interessa.
Cioè lo studio delle deformazioni che subisce un corpo assoggettato ad
una forza esterna gravante su di esso (carico applicato).
E' intuitivo pensare che se tale carico è modesto le deformazioni
saranno "temporanee", perchè al cessare del carico tutto tornerà
come prima. Cioè saremo entro il regime delle "deformazioni elastiche".
Se invece il carico applicato è molto grande, il corpo subirà delle
"deformazioni permanenti", e potranno essere guai !
Con il che abbiamo introdotto due concetti molto importanti :
- "elasticità" , cioè la proprietà di un corpo di riprendere la forma
primitiva appena cessata l' azione che lo ha deformato.
- "limite di elesticità" , cioè il limite oltre il quale un corpo
assoggettato ad una forza esterna subisce deformazioni permanenti.
Ma a noi hobbisti piace essere propositivi e muovere le mani, e perciò,
da buoni praticoni, andiamo avanti prendendo il toro per le corna.
Anzi, al posto delle corna prendiamo pure un bel tondino di ferro,
che provvediamo subito subito a sollecitare a trazione applicandogli
una forza via via crescente e diretta secondo il suo asse.
Cosà succederà al povero tondino ?
Esattamente quello che abbiamo detto prima.
Cioè il tondino al crescere del carico applicato si deformerà
(allungandosi) sino al limite di elasticità del materiale.
Se il carico continua a crescere, il tondino si allungherà ancora di più,
oltrepassando il limite di elasticità. Saremo nella fase di "snervamento"
del materiale, ed ormai la resistenza è già compromessa. Se aumenteremo
ancora il carico, il tondino subirà un forte allungamento, sino a quando
una sua certa sezione si restringerà fortemente e subito dopo avverrà
la rottura del materiale.
Se chiamiamo "P" il carico in Kg applicato a trazione, ed "S" la superficie
in mmq della sezione del tondino,
P
_______
S
sarà il "carico unitario" applicato, ed espresso in Kg / mmq.
Dal che discende la possibilità di definire più carichi unitari,
a seconda la fase della prova di cui sopra.
Per essere precisi :
- "carico al limite di elasticità", è il carico in Kg/mmq oltre il quale
si avranno deformazioni permanenti. Si indica con la lettera greca
"sigma" unita alla lettera "e" minuscola, e si legge "sigma con e".
- "carico di rottura", è il minimo carico in kg/mmq necessario a
rompere il materiale del tondino.
- "carico di sicurezza", è il massimo carico in Kg/mmq che il
materiale può sopportare in tutta sicurezza.
E il carico più importante, la scelta del quale richiede un particolare
studio.
E' evidente che il carico di sicurezza sarà sempre inferiore al carico
al limite di elasticità. Ma di quanto inferiore?
Come si diceva nei romanzi d' appendice di una volta :
"Il seguito al prossimo numero"!
Cordialità.
Paul
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Lezione N° 2 -Il "grado di sicurezza".
(Ovvero dove si scopre come le galline siano poco attente
alla propria incolumità ).
Nella lezione precedente abbiamo definito cosa è il
"carico di sicurezza" di un certo materiale.
Lo ricordo per i distratti :
"Carico di sicurezza" di un materiale è il massimo carico in Kg/mmq
che un certo materiale può sopportare in tutta sicurezza.
E' questo dato che si utilizza nei progetti o verifiche strutturali, ed è
quindi importante definirlo con accuratezza.
Una cosa è certa : di ogni materiale praticamente utilizzabile si conosce
esattamente il carico di rottura del materiale stesso, perchè il produttore
lo rende noto e lo certifica, oppure perchè sono state effettuate
delle misurazioni ufficiali in proposito.
Non è altrettanto semplice ed attendibile ricavare da prove strumentali
il carico al limite di elasticità, che potrebbe essere considerato
già lui stesso un indice del carico di sicurezza.
Per questo motivo si è ritenuto opportuno definire il carico di sicurezza
come una quota parte del carico di rottura, da ricavarsi dallo stesso
tramite un indice di riduzione, chiamato "grado di sicurezza", e del quale
se ne parla appena qui sotto.
Un' altra cosa è altrettanto certa : il grado di sicurezza di una certa
struttura dovrà essere diverso in funzione dell' impiego previsto
e del tipo di carico.
Mi spiego meglio.
Converrete con me che la sicurezza "intrinseca" delle funi di sollevamento
di un ascensore dovrà essere certamente superiore a quello di una tettoia
per un pollaio (le galline ci perdoneranno), ed un organo di macchina
soggetto a sforzi di direzione alterna, (pensate ad una biella in un motore
a scoppio) dovrà essere calcolato con un margine superiore rispetto
ad una struttura statica, la quale non è soggetta a carici dinamici.
Se indichiamo con "m" il grado di sicurezza da applicare nei varii casi,
dividendo il carico di rottura del materiale per il grado di sicurezza
stesso si otterrà per l' appunto il carico di sicurezza da utilizzare
nei calcoli per il progetto o la verifica delle strutture.
Cioè :
R
K = ____
m
Che si legge :
"Il carico di sicurezza K di un materiale è il rapporto tra il carico di
rottura del materiale stesso R diviso il grado di sicurezza m ".
Il grado di sicurezza è anche conosciuto come "coefficiente di sicurezza"
oppure "grado di stabilità".
Ma quanto vale questo fantomatico "m" ?
Da 3 a 20 e più, a seconda dei varii casi.
Facciamo qualche esempio :
- materiali ferrosi laminati 3 - 4
- " " fusi 6 - 8
- legnami varii 8- 10
- laterizi e pietre 12 - 20
- calcestruzzi 6 - 15
Questi sono valori medi, validi per carichi statici.
Se il carico applicato varia rapidamente tra lo zero ed un massimo,
i valori di cui sopra devono essere aumentati di circa il doppio.
Se il carico invece varia tra un minimo ed un massimo di segno
opposto (cioè la forza applicata in una certa direzione si inverte di segno
(pensate allo stelo di uno stantuffo a doppio effetto, che
alternativamente è sollecitato a trazione e compressione),
devono essere aumentati del triplo.
Ulteriori aumenti vanno portati in funzione della temperatura di lavoro,
di possibili urti, e di altre cosuccie che ora non mi vengono in mente.
Aggiungo inoltre che certi particolari materiali, come la ghisa, il legno,
le pietre, il calcestruzzo, il vetro, ecc., hanno comportamenti ben
diversi se sottoposti a carichi di trazione piuttosto che di compressione.
Su molti manuali, perciò, anzichè i valori del grado di sicurezza di
ciascun materiale, sono riportati direttamente i valori dei carichi di
sicurezza in forma separata per trazione e compressione, ed in genere
applicabili per sollecitazioni statiche.
Occhio perciò, se vi capita di leggerli, di interpretare i dati con
correttezza.
Vediamo ora quali sono le principali sollecitazioni alle quali può essere
sottoposta una semplice struttura.
Cominciamo con il dire che queste possono essere di tipo semplice o
composto.
Le sollecitazioni semplici sono :
- trazione
- compressione
- taglio
- flessione
- torsione
Lo scopo del calcolo strutturale è quello, per ognuna di queste
singole sollecitazioni, di verificare una specifica "equazione di
stabilità".
Essendo 5 il numero delle sollecitazioni, 5 dovrebbe essere anche
il numero delle equazioni di stabilità (cioè una per ogni singola
sollecitazione).
Gli sforzi di trazione e compressione però obbediscono entrambi
ad un' unica legge, e quindi le equazioni di stabilità per le sollecitazioni
semplici si riducono al numero di 4.
Meglio così !
Le sollecitazioni composte sono invece la risultante di 2 o più di quelle
precedenti, e cioè:
- tensoflessione
- pressoflessione
- flessione/taglio
- flesso torsione
- flessione/taglio con l' aggiunta di sforzi assiali (piuttosto comune
in edilizia)
- ecc. ecc. (se volete, andate pure avanti voi....)
Le sollecitazioni composte nella pratica applicazione sono meno
significative di quelle semplici, però il loro studio è notevolmente più
complicato, in quanto il relativo calcolo fa riferimento ad equazioni
matematiche di terzo grado, che non sono proprio bruscolini. :-)
Sarà per un' altra volta.
Alla prossima, come si calcola (o si verifica) una struttura sottoposta
a trazione o compressione.
Cordialità.
Paul
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Lezione n° 3 - Trazione e compressione.
(Cioè come stabilire con esattezza scientifica il diametro
della corda necessario e sufficiente ad impiccare la suocera,
previa determinazione del di lei peso).
Per inizare questo capitolo, diamo la definizione di cosa è
una trazione o compressione :
"Una sollecitazione di trazione si ha quando la forza (o la
risultante di queste, se sono più di una) applicata ad un corpo
coincide con l' asse geometrico dello stesso e tende ad
allungarne le fibre".
Per la compressione è lo stesso, salvo che tende a comprimerne
le fibre.
Il fatto che sia espressamente specificato che la forza deve
coincidere con l' asse è molto importante. Se così non fosse,
ci troveremmo in presenza di una sollecitazione composta, perchè
in tal caso alla trazione/compressione semplice si aggiungerebbe
un momento flettente (la forza applicata moltiplicato la distanza
tra l' asse di applicazione della forza e quello geometrico), e le
cose sarebbero un po' più complicate.
Ma andiamo avanti.
In meccanica, i corpi che devono essere calcolati si suppongono
omogenei ed aventi ugual resistenza in ogni direzione, (cioè isotropi).
Con queste debite precisazioni, si può supporre quindi che lo sforzo
applicato si distribuisca uniformemente su tutta la sezione perpendicolare
alla direzione di sforzo.
Se "P" è il carico applicato in Kg, "S" la superficie normale in mmq
sulla quale è distribuito lo sforzo, il carico unitario in Kg/mmq al quale
è assoggettato il corpo sarà ovviamente
P
----
S
Affinchè il corpo possa resistere con tutta sicurezza, è necessario
che tale carico unitario sia minore, od almeno uguale, a "K", cioè al
carico di sicurezza del materiale.
L' equazione di stabilità a trazione (o compressione) quindi risulta :
P
K = -----
S
Tutto qui !
Semplice vero ?
A questo punto mi sembra opportuno far presente che i calcoli sulla
resistenza dei materiali sono di due tipi :
- calcoli di progetto
- calcoli di verifica
I calcoli di progetto hanno lo scopo di determinare le dimensioni
che un corpo deve avere perchè resista in tutta sicurezza ad una data
sollecitazione.
Sapendo il valore della sollecitazione (carico applicato), con
l' equazione di cui sopra è facile determinare la superficie resistente,
dopo ovviamente aver fissato il valore di K (vedi Lez. precedente).
Avremo quindi :
P
S = -----
K
I calcoli di verifica, invece, hanno lo scopo di assicurare che un corpo
di date dimensioni e sottoposto ad una certa sollecitazione, possa
resistere in tutta sicurezza.
Se indichiamo con la lettera greca "sigma" la sollecitazione unitaria alla
quale è soggetto il corpo sotto un certo carico, e sapendo che tale
sollecitazione deve essere minore od al massimo uguale al carico di
sicurezza K, avremo che dovrà essere :
P
sigma = ------- = (od inferiore) a K
S
Siccome un esempio vale spesso più di una pagina di spiegazioni,
facciamone un paio :
(A) - Esempio di progetto :
Determinare il diametro di una barra circolare in ferro omogeneo che
deve sopportare un carico a trazione di 2.000 Kg.
La formula applicabile è :
P
S = ----
K
P lo conosciamo (2.000 Kg), il valore di K anche, perchè lo leggiamo
sui manuali, oppure lo ricaviamo dividendo il carico di rottura del ferro
(circa 40 Kg/mmq) per il grado di sicurezza (circa 4), e quindi sarà
10 Kg/mmq.
Risolvendo, si avrà una S di 200 mmq, pari ad un diametro di 16 mm.
(B) - Esempio di verifica :
Verificare la resistenza di una barra di ferro quadro di 30 mm di lato,
che è sottoposta ad uno sforzo di compressione di 7.500 Kg.
La formula applicabile è :
P
sigma = ----- = (od inferiore) a K
S
P è conosciuto, S si ricava (30 x 30 mm, pari a 900 mmq), e quindi
si troverà che sigma è di 8,3 Kg/mmq, valore inferiore a K (supposto
quest' ultimo sempre di 10 Kg/mmq). La barra resisterà quindi in
tutta sicurezza.
Nella prossima, alcune avvertenze che si devono avere per quanto
riguarda trazione e compressione con riferimento alle escursioni termiche
delle strutture, ed al peso proprio delle stesse.
Cordialità.
Paul
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Lezione N° 4 - Influenza della temperatura e del peso proprio.
( Cioè dove si viene a conoscenza che se proprio
volete impiccare la suocera, è meglio che la corda
non sia molto lunga).
Tutti sanno che i corpi, all' aumentare della temperatura,
aumentano di volume e quindi si allungano nelle tre dimensioni.
Nella maggioranza dei casi di calcolo strutturale questo problema
può considerarsi trascurabile, in quanto all' atto pratico non è influente
in maniera determinante.
Ma se la struttura è particolarmente sviluppata in una dimensione,
e soprattutto vincolata ai suoi estremi (cioè non libera di dilatarsi),
è necessario preoccuparsi e fare una verifica al calcolo di progetto.
Facciamo un esempio :
Immaginiamo un tirante posto sotto una volta ad arco di un capannone
(cioè la cosiddetta "catena", che ha il compito di contrastare la spinta
verso l' esterno dovuta al carico della copertura che tenderebbe
a divaricare verso l' esterno le pareti verticali di sostegno del tetto).
Usualmente calcolato come come sappiamo già fare, ed ipotizzando
una trazione di 8.500 Kg sul tirante, il calcolo ci darà una superficie
resistente necessaria di 850 mmq, che corrisponde ad un diametro
del tirante stesso di 33 mm.
Tutto questo a temperatura ambiente.
Ma se la temperatura scende, il ferro del tirante, che è vincolato
alla struttura muraria del capannone e quindi non è libero di contrarsi,
per effetto della diminuzione della temperatura che tende
ad accorciarne le fibre, subirà un aumento della tensione interna,
cioè un carico di trazione supplementare che si aggiungerà a quello
già stabilito in sede di progetto.
Questo carico aggiuntivo dipenderà ovviamente da quanto
la temperatura è diminuita, cioè dal "delta t" ambientale.
Nel caso dell' esempio precedente è facile stabilire con il calcolo che se
il delta t è di 30°C il diametro del tirante passerà da 33 mm a 62 mm,
con un aumento della superficie della sezione resistente pari a quattro
volte circa !
Scusate se è poco.
Più sotto trovererte la formula da applicarsi.
Ma vediamo come è possibile calcolare questo carico aggiuntivo,
variabile con la temperatura.
Posto direttamente la formula, così facciamo prima :-)
Pt = E x S x delta t x alfa
dove :
Pt è il carico aggiuntivo
E è il modulo di elasticità del materiale (si trova nei manuali, e per
il ferro vale 20.000 Kg/mmq.
S è la superficie della sezione resistente
delta t è il salto di temperatura considerato
alfa è il coefficiente di dilatazione lineare del materiale, che per
il ferro vale 0,000012 m/1°C (cioè il ferro si allunga/contrae di 12
millesimi di millimetro per ogni grado centigrado di variazione
di temperatura.
La formula di cui sopra rappresenta precisamente lo sforzo
generato nel corpo per effetto della temperatura se questo è
impedito di dilatarsi.
Da notare che il ragionamento vale solo se la temperatura diminuisce.
Infatti ,se la temperatura aumenta, la dilatazione lineare del tirante
indurrà un allungamento delle fibre del metallo sottoposto a trazione :
cioè gli 8.500 Kg di sollecitazione saranno in parte "scaricati" per
effetto della temperatura, ed a favore della sicurezza.
Se si vuole direttamente calcolare la superficie della sezione
resistente (calcolo di progetto) la formula, derivata dalla precedente,
diventa :
P
S = -----------------------
K - E x delta t x alfa
se provate a risolverla con i dati dell' esempio del tirante postato
sopra, troverete che la sezione necessaria è di 3.036 mmq, pari
ad un diametro di circa 62 mm.
Come volevasi dimostrare.
Vediamo ora l' influenza del peso proprio della struttura nel caso
della trazione o compressione.
Se l' organo soggetto a calcolo è piuttosto pesante, bisognerà
tenerne conto, in quanto il suo peso potrebbe concorrere al
carico sollecitante.
Ad esempio, considerando una fune all' estremità della quale è
attaccato un carico, se la fune è molto lunga anche il suo
peso, sommato al carico stesso, solleciterà a trazione la sezione
resistente della fune medesima, che ovviamente si trova in prossimità
del vincolo (cioè dove la fune è attaccata).
L' equazione di stabilità alla trazione in tal caso diventa :
P + Q
K = ---------
S
dove Q è il peso della fune, mentre gli altri termini già li conosciamo.
Sviluppando l' esempio precedente della fune con attaccato un
carico (che potrebbe essere anche la suocera), si potrà osservare
che man mano che la fune diventa più lunga il carico ammissibile
si riduce man mano (cioè la suocera dovrà essere più leggera :-),
sino al punto che non ci sarà possibilità di avere alcun carico
applicabile, e se la fune diventasse ancora più lunga si romperebbe
sotto l' azione del suo stesso peso.
La lunghezza che corrisponde alla rottura prende il nome di
"lunghezza di rottura", ed è un dato caratteristico di ogni materiale.
Questa unità di misura, cioe la "lunghezza di rottura", è molto
usata per valutare la resistenza delle forme sottili, come quella
per l' appunto di funi e fili in genere.
Ad esempio, i filati di cotone hanno una lunghezza di rottura che
può variare tra gli 8 ed i 16 Km, secondo la qualità di origine del
cotone stesso.
Chi volesse perdere un po' di tempo, potrebbe calcolare la lunghezza
di rottura di un tondino di ferro (carico di rottura 40 kg/mmq).
Ovviamente il diametro del tondino non ha alcuna importanza, in
quanto la lunghezza di rottura è un parametro del materiale e non
della misura della sezione, e quindi si potrà adottarne una qualsiasi.
Chi volesse farlo, troverà nel risultato una bella sorpresa !!!
Alla prossima vedremo una particolare forma di carico a compressione :
il "carico di punta".
Cordialità.
Paul
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Lezione N° 5 - Il "carico di punta" (prima parte).
( Ovvero come anche gli scienziati non disdegnavano
giocare con i legnetti ).
Prendete in mano un bastoncino sottile. Appoggiatene la punta a terra
ed esercitate una certa forza nello spingerlo lungo l' asse
(una compressione, insomma).
Ad un certo punto il bastoncino si fletterà, e se continuate a spingere,
si romperà.
Tagliatene un pezzettino di lunghezza piccola piccola, e ripetete
l' operazione precedente, applicando la stessa forza.
Il bastoncino resisterà tranquillamente.
Se ne deduce che esisterà una lunghezza critica in rapporto al diametro
del bastoncino, al di sopra della quale il bastoncino "perde" la sua
capacità di resistere a compressione sotto l' azione di una certa forza.
Se il bastoncino, (o più in generale un corpo) fosse perfettamente
prismatico, perfettamente omogeneo, e la forza di compressione
agisse rigorosamente lungo l' asse geometrico, i due casi sarebbero
uguali.
Queste condizioni in realtà non si verificano, e per conseguenza, quando
il rapporto tra la lunghezza del corpo e la minima dimensione della sezione
trasversale supera un certo limite, si manifesta un' inflessione laterale
che conduce a rottura.
Vale a dire che allo sforzo di compressione semplice si somma un momento
flettente che concorre alla deformazione, momento flettente del quale
però non si è in grado di calcolarne il valore. Perciò il carico che i
solidi caricati di punta possono sopportare in sicurezza è solamente
una parte di quello a compressione semplice, e si chiama "carico critico".
La faccenda, anche è intuitiva per tutti, non è per nulla semplice da
calcolare, e ci voleva un vero genio matematico come Eulero
per venirne a capo.
Fatta questa premessa, dal momento che il discorso è un po' lungo
ho diviso questa lezione in 3 capitoli separati :
1) - La lunghezza libera d' inflessione
2) - La formula di Eulero ed il rapporto di snellezza.
3) - Le formule di Tetmajer e di Rankine, ed esempi di calcolo
Così forse il tutto sarà più chiaro.
1) - La lunghezza libera d' inflessione.
L' esempio del bastoncino di cui sopra premuto tra la mano aperta
ed il pavimento configura un solido che ha le estremità articolate ai
due estremi, cioè come se alle estremità ci fossero due cerniere.
Ma una estemità del bastoncino potrebbe anche essere piantata
solidamente in un foro del pavimento (cioè incastrata), mentre la
forza esercitata dalla mano potrebbe essere sostituita da un peso.
Oppure ci potrebbero essere due incastri alle estemità, ad esempio
il bastocino piantato a terra e tenuto dall' altra parte nel pugno chiuso
e non solamente appoggiato sul palmo.
Per farla breve, ci sono 4 condizioni tipiche di vincolo, alle quali
Eulero ha trovato che corrispondono 4 carichi critici, in quanto la
deformazione che assume il corpo sotto carico è come se modificasse
la lunghezza geometrica del corpo in funzione delle condizioni di vincolo.
Se non avete capito, fà niente, vi basti sapere che nella sua formula
di calcolo del carico critico bisogna tener conto della lunghezza libera
di inflessione, e non della lunghezza geometrica del corpo.
In ordine crescente di resistenza, i 4 casi possibili sono :
1° caso : solido incastrato ad un estremo e libero all' altro. La lunghezza
libera d' inflessione vale 2 volte la lunghezza geometrica.
2° caso : solido articolato ai due estremi. La lunghezza libera d'
inflessione è pari alla lunghezza geometrica.
3° caso : solido incastrato ad un estremo ed articolato all' altro.
La lunghezza libera d' inflessione vale 2/3 (due terzi) della
lunghezza geometrica.
4° caso : solido incastrato a tutti e due gli estremi. La lunghezza libera
d' inflessione è pari alla metà della lunghezza geometrica.
Ordinariamente in meccanica si incontrano più frequentemente il primo
ed il secondo caso. Il terzo si incontra più raramente, ed ancor meno
il quarto.
Facciamo un esempio di strutture secondo i casi di cui sopra.
Il primo caso potrebbe essere quello di un palo gravato da un carico
in testa, come ...un albero della cuccagna !
Il secondo potrebbe essere una biella di un motore a scoppio.
Il terzo una colonna portante del tetto in un capannone.
Il quarto....non mi viene in mente :-)
2) - La formula di Eulero.
Quel gran genio di Eulero, capito che il carico dipendeva tra le varie
cose dalla lunghezza libera d' inflessione, arrivò così a determinare
il minimo carico critico per il quale ha inizio l' inflessione laterale in
ognuno dei 4 casi.
Che per quanto riguarda la sicurezza delle strutture è già
una condizione di potenziale pericolo.
Quindi il carico P che il solido può sopportare con tutta sicurezza
sarà una frazione del carico critico di Eulero.
La formula pratica di calcolo del carico P, derivata da quella di Eulero,
diventa quindi
E x J min
P = C x 2,5 --------------------
n x L (al quadrato)
nella quale :
"P" è per l' appunto il carico di punta ammissibile
"C" è un coefficiente che, secondo i casi di lunghezza di inflessione
libera già indicati, vale :
1 per il primo caso
4 per il secondo
8 per il terzo
16 per il quarto
"E", come al solito, è il coefficiente di elasticità del materiale.
"J min" è il minimo momento d' inerzia della sezione resistente
(ovviamente la precisazione "min" vale se la sezione è rettangolare
o di forma non simmetrica. Se la sezione è quadrata, o circolare,
il "Jmin" è pari al "J" tipico della sezione).
"n" è un coefficiente di sicurezza, che vale 5 per il ferro, 8 per la ghisa,
e 10 per il legno.
"L" è la lunghezza geometrica del corpo.
Sembrava che i problemi fossero così risolti !
Ma i tecnici, che come tutti i tecnici sono invidiosi degli scienziati,
scoprirono ben presto che la sua formula non valeva per tutti i casi
di carico di punta, ma era applicabile solamente per i corpi più snelli.
Saltando il procedimento di verifica che questi signori avevano
prodotto, indico direttamente i limiti di applicabilità della formula di cui
sopra per le più comuni tipologie di sezioni e di materiali, cioè quando
é possibile calcolare il carico di punta con la formula di Eulero :
- per la sezione quadrata e rettangolare:
L inf
------- maggiore di 30 per il ferro
b " " 23 per la ghisa
" " 29 per il legno
nella quale "L inf" è la lunghezza libera d' inflessione, e "b" è il lato
del quadrato o quello più corto del rettangolo.
- per la sezione circolare piena:
L inf
------- maggiore di 26 per il ferro
D " " 20 per la ghisa
" " 25 per il legno
nella quale "D" è il diametro della sezione.
- per la sezione a corona circolare:
L inf
--------------------------- maggiore di 26 per il ferro
Radice quadrata della somma " " 20 per la ghisa
dei due diametri al quadrato " " 25 per il legn
Sempre i tecnici di cui sopra avevano anche stabilito quali erano i limiti
per i quali era possibile calcolare il carico a compressione semplice :
- per la sezione quadrata e rettangolare:
L inf
------- minore di 21 per il ferro
b " " 10 per la ghisa
" " 13 per il legno
-per la sezione circolare piena:
L inf
------- minore di 18 per il ferro
D " " 8 per la ghisa
" " 11 per il legno
- per la la sezione a cornona circolare:
L in
---------------------------- minore di 18 per il ferro
Radice quadrata della somma " " 8 per la ghisa
dei due diametri al quadrato " " 11 per il legno
Se avete avuto la pazienza di leggere le formule di cui sopra, vi sarete
accorti che quindi rimaneva un' area di incertezza tra il caso di
applicabilità della formula di Eulero (caso in cui il corpo è molto snello)
e quello di compressione semplice (nel quale il corpo è tozzo).
Ad esempio, per un corpo di ferro ed a sezione quadrata, nell' intervallo
che và dal valore 21 (al di sotto del quale si adotta la formula della
compressione semplice), al valore 30 (al di sopra del quale vale la formula
di Eulero), non si sapeva come eseguire il calcolo.
Come fare quindi ?
Il seguito alla seconda parte della lezione N° 5.
Cordialità.
Paul
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Lezione N° 5 - "Il carico di punta" (seconda parte).
( Ovvero come tra i due litiganti il terzo gode).
3) - Le formule del Tetmajer e di Rankine.
Stante l' intervallo di incertezza sulle modalità di calcolo per
i solidi aventi un rapporto di snellezza medio, il problema fu
risolto da un certo Tetmajer, il quale doveva essere un praticone
perchè indicò alcune formule empiriche (cioè non supportate
dal calcolo matematico, ma dall' applicazione sperimentale).
Il procedimento che propose fu quello di legare la sollecitazione
unitaria al rapporto di snellezza, inteso questo come la lunghezza libera
d' inflessione diviso il minimo raggio d' inerzia della sezione trasversale.
Attenzione che il raggio d' inerzia non è una lunghezza geometrica
della sezione, ma deriva da una formula matematica che peraltro
vi risparmio.
Per queste ragioni che possono confondere le idee, (ed anche perchè
il Tetmajer nelle sue formule espresse le sollecitazioni in tonnellate
al centimetro quadrato anzichè in Kg al mm quadrato come si fà
usualmente), evito di dilungarmi oltre e di postare le sue formule,
anche perchè un certo Rankine mise d' accordo tutti quanti,
proponendo una formula buona per tutti casi.
Il concetto di Rankine fù quello di calcolare il solido come se fosse
caricato a semplice compressione, dividendo però il risultato per
un coefficiente (chiamato per l' appunto coefficiente di Rankine),
che teneva conto di varii fattori.
Vale a dire :
K x S
P = -------
n
nella quale :
"P" è il carico di punta ammissibile
"K" è il carico di sicurezza del materiale
"S" è la superficie della sezione resistente
"n" è il coefficiente di Rankine
Anche se proprio non collimante con lo studio matematico delle
deformazioni, la formula di Rankine, detta semiempirica perchè
dedotta in parte da considerazioni teoriche ed in parte dall' esperienza,
è la più concorde con i risultati sperimentali e quindi la più
impiegata in pratica.
Perciò nella seguente tabella troverete indicati i valori di "n" per
le più comuni tipologie di sezioni resistenti, di materiali e di rapporti
di snellezza (intesi questi come il rapporto tra la lunghezza geometrica
del corpo resistente e la minima dimensione trasversale dello stesso).
In tal modo, sarete in grado di calcolare in pratica il carico di punta
per ogni caso possibile, o giù di lì :-)
Sezione Materiale Rapporto di snellezza
10 20 30 40
50
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rettangolare ferro, acciaio 1,12 1,48 2,1 2,9 4
o quadrata ghisa, legno 1,96 4,84 9,7 15,4 25
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circolare ferro, acciaio 1,16 1,64 2,5 3,6 5
ghisa, legno 2,28 6,12 12,5 21 33
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a corona ferro, acciaio 1,09 1,34 1,8 2,4 3
circolare ghisa, legno 1,78 4,12 8 13,5 20
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profilata a T, L, ferro, acciaio 1,20 1,85 3 4,5 6,5
doppio T ghisa, legno 2 4,8 9,5 16 25
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In certi casi, ed a seconda di quale formula applicabile si adotta,
si possono trovare risultati leggermente differenti.
Questo è normale, e a causa di tale discordanza altri scienziati e tecnici
hanno studiato nuove formule empiriche, che si possono dire
"di specializzazione", perchè ciascuna di esse comprende un ristretto
campo di applicazione. Anche il nostro Ministero dei Lavori Pubblici
adotta delle sue formule obbligatorie (che non conosco) nella progettazione
di opere metalliche di interesse pubblico e che richiedono preventiva
approvazione.
Concludendo, vediamo quali sono in pratica i due problemi che
si incontrano nel calcolo di un solido caricato di punta:
- la determinazione del carico massimo che un solido può sopportare,
conoscendo la sua lunghezza e le dimensioni della sua sezione
trasversale
- la determinazione delle dimensioni della sezione trasversale di un solido
di lunghezza nota, capace di sopportare con tutta sicurezza un dato
carico di punta
Il primo caso non comporta alcuna difficoltà, in quanto conoscendo
le dimensioni del corpo e quindi la sua snellezza basta applicare la
formula appropriata.
Il secondo è un po' più complicato, in quanto non conoscendo le
dimensioni della sezione trasversale, non è possibile determinare la
snellezza e quindi non si sà quale formula applicare.
In taso caso è necessario adottare la formula di Eulero, che ci permetterà
di trovare il momento d' inerzia "J" della sezione, e quindi, fissata la
forma della stessa, trovarne le dimensioni. Dopodichè si procederà
come nel primo caso per una verifica.
Alla prossima, la sollecitazione di taglio.
Cordialità.
Paul
Lezione N° 6 - La sollecitazione di taglio.
( Ovvero dove si capisce che a volte chi fà la strada
più lunga fà anche meno fatica, e del perchè tagliavano
le teste alla ghigliottina con una lama triangolare).
Può sembrare strano sentire parlare di "taglio" riferendosi a strutture
metalliche, oppure in legno o calcestruzzo che siano, ma in effetti
non vi è differenza concettuale tra queste ed un semplice foglio di carta
"tagliato" con un paio di forbici.
In entrambi i casi, una forza trasversale ad una sezione del corpo
tenderà a recidere il materiale in due parti, tramite uno scorrimento
lungo la superficie di separazione.
Pensate ad un perno di una certa lunghezza infilato a pressione
con una sua estremità in una lastra di ferro.
Se battiamo sull' estremità libera del perno, questo sarà soggetto
prevalentemente ad una sollecitazione di flessione, che tenderà
a piegare il perno. Ma se battiamo lo stesso dove è infilato, cioè
vicinissimo alla lastra, la sollecitazione cambia, e diventa uno sforzo
di taglio, che tenderà a tagliare in due il perno stesso.
In questo ultimo caso, in verità, rimane una sia pur piccola sollecitazione
a flessione, che concorre allo sforzo complessivo al quale il corpo è
sollecitato.
Per questo motivo, nell' equazione di stabilità alla sollecitazione di
taglio, il carico di sicurezza del materiale K (che abbiamo già usato
a proposito dei carichi di trazione e/o compressione) deve essere
un pò ridotto, e diventa K', pari a 4/5 (quattro quinti) di K.
Perciò le equazioni di stabilità alla sollecitazione di taglio diventano :
- per i calcoli di progetto :
T
K' = ------
S
dove :
K' è pari a 4/5 del carico di sicurezza del materiale
T è la forza di taglio applicata al corpo
S è la superficie trasversale del corpo resistente
- per i calcoli di verifica :
T
sigma = ------- = (od inferiore) a K'
S
Ora una domandina facile facile.
Cosa succede se al posto del carico di sicurezza a taglio K' mettiamo
nella formula il carico di rottura del materiale ?
Semplice. Avremo portato a rottura il materiale, tagliando in due
il corpo stesso !
Cioè abbiamo inventato le cesoie :-)
E, a proposito di queste, chi saprebbe dire perchè mai hanno
le due lame angolate tra loro ?
La spiegazione tecnica è tanto semplice quanto elegante.
Seguitemi nell' esempio che propongo.
Mettiamo che si voglia tagliare una lamiera di ferro (carico di rottura
"R" di 40 Kg/mmq), dello spessore di 5 mm e lunga 1 metro.
Se la lama è orizzontale, lo sforzo di taglio, applicando la formula
di stabilità di cui sopra, è :
T = R' x S
ma R' è pari a 4/5 di R, cioè 32 Kg/mmq,
S vale 5 x 1.000, cioe 5.000 mmq, e quindi
T = 32 x 5.000, che sono 160.000 Kg, pari a 160 tonnellate
La corsa della lama sarà uguale allo spessore del materiale, cioè 5 mm.
Se per caso la lama che deve effettuare il taglio è inclinata, dovrà fare
una corsa molto superiore a 5 mm per tagliare l' intera lamiera.
Mettiamo che siano 100 mm.
Quale sarà lo sforzo di taglio in questo caso ?
E' da dire che in entrambi i casi, a lamiera tagliata si sarà fatta la
medesima quantità di lavoro (cioè il taglio della lamiera).
Ma noi sappiamo che il lavoro non è altro che il prodotto di una
forza per uno spostamento.
Nel primo caso la forza è 160.000 Kg, e lo spostamento 5 mm.
Nel secondo lo spostamento è di 100 mm.
perciò, per l' eguaglianza dei lavori ci sarà :
160.000 x 5 = X x 100
dalla quale risulta un valore di X pari a 8.000 Kg, cioè 8 tonnellate
anzichè le 160 del primo caso.
Cioè nel secondo caso la lama farà molta più corsa, ma basterà
molto meno forza per tagliare la lamiera !
Capito perchè monsieur De Guilloutine adoperava le lame triangolari
per tagliare le teste?
Cordialità.
Paul